Всего: 16 1–16
Добавить в вариант
Парабола 
пересекается с некоторой окружностью в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на параболе, задаваемой уравнением вида 
Уравнение окружности в имеет вид 
для некоторых чисел a, b, c. Поскольку точки пересечения окружности и и параболы удовлетворяют двум уравнениям, они удовлетворяют также любой их комбинации. В частности,
Это уравнение задаёт параболу требуемого вида.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено доказательство в общем случае. | 20 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 20 |
Докажите, что уравнение 
при любых не совпадающих одновременно значениях a, b, c имеет два различных корня.
Первый способ. Раскроем в левой части скобки и приведём подобные: 
Дискриминант уравнения равен: 
Последнее выражение несложно преобразуется к виду: 
Полученная сумма всегда неотрицательна и равна нулю тогда и только тогда, когда 
Второй способ. Без ограничения общности можно считать, что 
и что одно из двух неравенств строгое. Обозначим выражение в левой части за f(x). Если 
то 
и непрерывная функция f(x) имеет по одному корню на интервалах (a, b) и (b, c).Если 
то 
один корень f(x) совпадает с a. При этом 
и второй корень равен 
что совпадает с a тогда и толькотогда, когда a = с и значения всех трёх переменных совпадают, что противоречит условию. Аналогично разбирается случай 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
Верное второе решение без рассмотрения случая  или  . | 4 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Найдите все значения m, при которых любое решение уравнения
принадлежит промежутку
Рассмотрим
На области определения 
функция монотонно возрастает, как сумма монотонно возрастающих функций. Уравнение 
имеет единственное решение. Это решение будет принадлежать промежутку
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите все значения m, при которых любое решение уравнения
принадлежит промежутку [1 ; 6].
Рассмотрим
На области определения 
функция монотонно возрастает, как сумма монотонно возрастающих функций. Уравнение имеет единственное решение. Это решение будет принадлежать промежутку
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
а) Решите уравнение 
б) Найдите множество всех точек плоскости, являющихся серединами отрезков, концы которых лежат на 
в) Найдите все такие a, при которых функция 
нечетная.
г) Найдите все такие b, что при любом a уравнение 
имеет решение.
а) Перепишем уравнение в виде 
и преобразуем при условии 
Ответ: 
б) Точка с координатами
является серединой отрезка, концы которого лежат на кривой 
тогда и только тогда, когда найдутся такие числа a и b, что
Исключая очевидное решение 
приходим к уравнению 
которое разрешимо при 
Пункт 1б) не обнаружен в файле. Решения нет.
Ответ: на рисунке.
в) При 
получаем 
Но если нечетная функция 
определена при 
то 
поэтому либо 
либо 
Итак, остается проверить 
и 
При получим
что определено при 
и не определено при 
поэтому функция не будет нечетной.
При 
получим
и 
при всех x. Решим
что верно. Осталось еще объяснить, что и 
определены при одних и тех же x. Ясно, что при всех 
а при 
Поскольку произведение этих выражений всегда положительно, то на самом деле оба они всегда одного знака, то есть оба положительны. Значит, логарифмы определены.
Ответ: 
г) Изобразим график 
(см. рис.). Прямые 
проходят через точку 
на оси ординат. Поэтому вопрос сводится к такому — какие точки на оси ординат обладают таким свойством — любая невертикальная прямая, проведенная через них, пересекает график 
Очевидно при 
можно провести горизонтальную прямую и она не пересечет график, при 
точка 
лежит на графике, а при 
прямые с неотрицательным k пересекают график во второй четверти, а с отрицательным k — в первой четверти (возможно есть и второе пересечение, но это неважно).
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
на рисунке.
г) Изобразим график (см. рис.). Прямые проходят через точку на оси ординат. Поэтому вопрос сводится к такому — какие точки на оси ординат обладают таким свойством — любая невертикальная прямая, проведенная через них, пересекает график Очевидно при можно провести горизонтальную прямую и она не пересечет график, при точка лежит на графике, а при прямые с неотрицательным k пересекают график во второй четверти, а с отрицательным k — в первой четверти (возможно есть и второе пересечение, но это неважно).
а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Найдите все 
при которых функция g периодична.
а) Один корень, если 
или 
два, если 
и три корня, если 
б) Исследуйте функцию 
в) Преобразуйте данное тождество к виду
г) Все нечетные n.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
При каком значении параметра a функция 
будет четной?
Функция является четной, если 
для всякого 
Найдем
и приравняем значения f(x) и f(−x). Получим
Ответ: 
Найти все значения n, при которых область определения функции 
состоит из одной точки.
Функция определена на множестве, являющемся решением системы
Чтобы эта система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы парабола 
либо имела один единственный корень, не меньший 7, либо имела два корня, больший из которых был бы равен 7:
или
где 
и xв — абсцисса вершины параболы. Так как 
то рассматриваем только случай
Тогда при 
получаем 
откуда 
Ответ:
Определить, при каком значении n область определения функции 
состоит из одной точки.
Функция определена на множестве:
Для того, чтобы система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы парабола либо имела единственный корень, не меньший 7, либо имела 2 корня, больший из которых был бы равен 7. Эти условия выполнимы, если
Здесь — дискриминант квадратного выражения, а 
— абсцисса вершины параболы. Возможно два варианта:
1) если
то система не имеет решений;
2) если
то
Решение совокупности этих систем — число
Ответ: 77.
Определить, при каком значении m область определения функции
состоит из одной точки.
Функция определена на множестве:
Для того, чтобы система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы парабола 
либо имела единственный корень, не превосходящий 1, либо имела 2 корня, меныший из которых был бы равен 1. Эти условия выполнимы, если
или 
Здесь 
—
—
1. 
2. 
Ответ: решений нет.
Найти минимальное и максимальное значения выражения 
где x, y принимают произвольные значения из интервала [0, 1].
Решение 1. Положим 
тогда 
Полученное выражение равно 0 при или 
или 
Следовательно, в области 
функция 
положительна ниже (или правее) прямой 
и тут достигается её максимум, и отрицательна — выше (или левее) этой прямой и тут достигается её минимум.
Решение 2. Считаем переменную у параметром, лежащим в интервале 
При каждом фиксированном 
квадратный трёхчлен 
принимает минимальное значение, равное 
при 
следовательно, минимальное значение всего выражения достигается при 
и равен 
Максимум же квадратного трёхчлена при каждом фиксированном на интервале 
достигается на его конце при (значение на другом конце равно 0), и равен 
Следовательно, максимум не превосходит максимума трёхчлена 
который достигается при 
из интервале и 
и равен 
Ответ: минимальное значение — 
максимальное значение — 
Доказана одна из оценок 
и 
—
максимальное значение — При каких значениях вещественного параметра a система уравнений 
имеет единственное решение?
Запишем ОДЗ: 
Обратим внимание, что уравнение 
можно логарифмировать и записать в виде
Исследуем функцию 
на монотонность. Для этого найдем производную
Оказывается, что функция f(x) возрастает на промежутке (0, e) и убывает на промежутке 
Вычислим пределы
Найдем, когда 
Решением этого неравенства оказывается промежуток (0, 1]. Сделаем эскиз графика функции f(x).
Очевидно, что одним из решений уравнения 
всегда является полупрямая 
Второе решение существует только в том случае, если 
или 
Уравнение имеет единственное решение только в случае если 
В таком случае 
где 
Исследуем функцию 
Для этого найдем ее производную
Поскольку 
то функция g убывает при 
и возрастает при 
Выясним предел функции g в нуле
Таким образом, в области 
функция g принимает значения
а значит система обладает единственным решением при
Ответ: при
Для каждого значения параметра p решите уравнение
и укажите количество его решений для каждого значения параметра.
Заметим, что 
и что если x — корень, то 
Умножим обе части уравнения 
Получаем:
Введем обозначение
Поскольку
исходное уравнение равносильно следующему:
или
Отсюда находим, что
и для любого действительного значения p, очевидно, 
то есть, корни этого уравнения всегда различны и не равны нулю. Легко проверить что условие 
равносильно выполнению неравенства 
значит, при всех
существуют две серии решений
которые при 
соединяются в одну 
Аналогично, для второго корня должно выполняться условие 
или 
следовательно, при всех
существует две серии решений
которые при 
соединяются в серию 
Таким образом, для каждого промежутка 
имеется два решения исходного уравнения при 
три решения при 
четыре решения при 
и при 
решений нет.
Ответ: для каждого промежутка имеется два решения исходного уравнения при три решения при четыре решения при и при решений нет.
имеется два решения исходного уравнения при три решения при четыре решения при и при решений нет.Для каждого значения a решите уравнение
Решение может существовать только если
поскольку иначе левая часть уравнения или не определена, или строго положительна. При 
уравнение имеет вид 
Следовательно, при 
Если 
то 
а 
Поэтому минимум функции
не меньше 15. С другой стороны абсолютное значение выражения
на полуинтервале 
заведомо не больше единицы:
Поэтому при 
решений нет.
Ответ: 
при 
При остальных a решений нет.
при При остальных a решений нет.Find the maximum negative value of parameter p such that the equation 
has at least one solution.
Найдите максимальное отрицательное значение параметра p, при котором уравнение имеет хотя бы одно решение.
As is not a solution of the equation, dividing both sides by x results in an equivalent equation 
Let us consider function
Its derivative is
Let us consider positive values of x first. For 
the derivative is positive, and for 
it is negative. Therefore, 
is a minimum for 
So, for positive values of x our function takes values from
so, from 
Function f(x) is odd; hence its range for negative values of x is 
All in all, range of f(x) is 
It is only left to notice that the given equation has solutions only for such values of p that belong to the range of f(x). Thus the largest negative value of p is −432.
В силу того, что не является решением уравнения, деление обеих частей уравнения на x приводит к равносильному уравнению Рассмотрим функцию
Её производная равна
Сначала рассмотрим положительные значения x. При производная положительна, а для 
она отрицательна. Следовательно, 
точка минимума функции Значит, при положительных значениях x функция принимает значения из промежутка
то есть из
Функция f(x) нечётная; следовательно, её множество значений при отрицательных значениях x есть 
Окончательно получаем, что множество значений f(x) — это 
Остаётся заметить, что данное уравнение имеет решение для тех и только тех значений p, которые принадлежат множеству значений f(x). Таким образом, наибольшее отрицательное значение p равно −432.
Ответ: −432.
Найдите наименьшее целое значение параметра a, при котором уравнение
имеет единственное решение. Функция f(t) задается соотношением
при всех возможных значениях t.
Рассмотрим функцию f(x).
1. Заметим, что 
2. Если 
3. Если
Тогда уравнение перепишется в виде
Вычислим дискриминант, тогда:
Единственное решение уравнение имеет, если:
Таким образом, единственное решение возможно при 
Следовательно, наименьшее целое значение параметра при этом равно −3.
Ответ: −3.
Наверх